Isomorphismus zwischen Periodenfunktionen – kohomologiefreier Beweis

Abstract

Wir bezeichnen als Maaßsche Spitzenformen gewisse Eigenfunktionen des Laplaceoperators auf hyperbolischen Flächen. Für geeignete hyperbolische Flächen Γ\ℍ können die Maaßschen Spitzenformen mithilfe von Eigenfunktionen von Transferoperatoren, den sogenannten Periodenfunktionen für Γ, charakterisiert werden. Aufgrund von Selberg- und Kohomologietheorie wird erwartet, dass diese Beziehung auch in Anwesenheit von gewissen Darstellungen von Γ gilt. Weiterhin wird erwartet, dass zwischen geeigneten Paaren von verschiedenen Flächen und Darstellungen eine enge Beziehung zwischen den zugehörigen Periodenfunktionen existiert. Dieser Zusammenhang ist aber noch nicht verstanden. Wir betrachten Γ = PSL ₂ (ℤ) und Λ = PΓ ₀ (2) sowie die induzierte Darstellung χ von Γ auf Λ. Wir präsentieren einen expliziten Isomorphismus zwischen einer Subklasse von Periodenfunktionen von (Γ ,χ ) und Λ, der unabhängig von Selberg- und Kohomologietheorie hergeleitet ist.