Grégory Chatel, Viviane Pons

Counting smaller trees in the Tamari order

  • Discrete Mathematics and Combinatorics
  • General Computer Science
  • Theoretical Computer Science

We introduce new combinatorial objects, the interval-posets, that encode intervals of the Tamari lattice. We then find a combinatorial interpretation of the bilinear form that appears in the functional equation of Tamari intervals described by Chapoton. Thus, we retrieve this functional equation and prove that the polynomial recursively computed from the bilinear form on each tree $T$ counts the number of trees smaller than $T$ in the Tamari order. Nous introduisons un nouvel objet, les intervalles-posets, pour encoder les intervalles de Tamari. Nous donnons ainsi une interprétation combinatoireà la forme bilinéaire qui apparaît dans l’équation fonctionnelle des intervalles de Tamari que donne Chapoton. De cette façon, nous retrouvons d’une nouvelle manière cette équation fonctionnelle et prouvons que le polynôme calculé récursivement à partir de la forme bilinéaire pour chaque arbre $T$ compte le nombre d’arbres plus petits que $T$ dans l’ordre de Tamari.

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