DOI: 10.1017/s0010437x26103236 ISSN: 0010-437X
Cohomologie de systèmes locaux
p
-adiques sur les revêtements du demi-plan de Drinfeld
Arnaud Vanhaecke Résumé
Colmez, Dospinescu et Nizioł démontrent que les seules représentations
p
-adiques de
normal upper G normal a normal l left parenthesis double struck upper Q overbar Subscript p Baseline divided by double struck upper Q Subscript p Baseline right parenthesis
G
a
l
(
Q
¯
p
/
Q
p
)
$\mathrm{Gal}(\bar{{\mathbb{Q}}}_p/{\mathbb{Q}}_p)$
qui apparaissent dans la cohomologie étale
p
-adique de la tour de revêtements du demi-plan de Drinfeld sont les représentations cuspidales (i.e. potentiellement semi-stables, dont la représentation de Weil-Deligne associée est irréductible) de dimension 2, à poids de Hodge-Tate 0 et 1 et que leur multiplicité est donnée par la correspondance de Langlands
p
-adique. Nous étendons ce résultat en poids quelconque, en considérant la cohomologie étale
p
-adique à coefficients dans les puissances symétriques du système local universel sur la tour de Drinfeld. Une différence notable est que toutes les représentations potentiellement semi-stables de dimension 2 non cristabélines, pas seulement les cuspidales, apparaissent avec les multiplicités attendues. Le point clé est que les systèmes locaux que l’on considère sont particulièrement simples : ce sont des ‘opers isotriviaux’ sur une courbe. Nous donnons une recette pour calculer la cohomologie proétale de tels systèmes locaux à partir de la cohomologie de Hyodo-Kato de la courbe et du complexe de de Rham du fibré plat filtré associé au système local.